X-Treme Audio Linear Source Array - Manuale (Pagina 4)

User’s manual
4.1 Sorgente lineare di lunghezza infinita
Con riferimento alla fig. 1, si immagini una sequenza infinita di sorgen-
ti, scorrelate fra loro, intervallate di una distanza b e tutte di eguale
potenza sonora Wo. Si avrà che l’intensità di ogni sorgente si somma
a quella di ciascun altra nel determinare l’intensità totale alla distanza
r
o
in direzione normale alla linea sorgente. In questa ipotesi, si può
dimostrare (Beranek, 1988) che per un valore della distanza
r
o
>= b/ π
e pertanto ad una distanza tale da non poter distinguere le singole
sorgenti l’una dall’altra, l’
intensità sonora media può essere sem-
plicemente approssimata dalla relazione:
〈I〉=Wo/4br
o
[W/m 2 ].
Ovvero, a distanze superiori della distanza fra una sorgente e l’altra
(e quindi perfettamente nelle condizioni di ascolto dei sistemi di
sound reinforcement
vertical line array, essendo genericamente
la distanza fra un elemento e l’altro dell’ordine del metro lineare)
l’intensità non varia più col quadrato della distanza come nel caso
delle sorgenti monopolo, ma solamente con l’inverso della distan-
za. Ciò significa che queste onde sonore (spesso chiamate
cilin-
driche) si attenuano di soli 3 dB per ogni raddoppio di distanza al
contrario dei 6 dB dei sistemi tradizionali (
legge del “quadrato
inverso” vista in precedenza).
4.2 Sorgente lineare di lunghezza finita
Se le sorgenti disposte sulla linea sono in numero finito n (>=3) e
βn
è l’angolo, in radianti, sotto cui la linea sorgente è vista dal punto di
osservazione (come indicato in fig. 1), sempre a distanze sufficien-
temente grandi (r
o
>= b/ π), l’intensità sonora può essere determinata
in base alla relazione seguente:
〈I〉 = Wo·βn /4πbr
o
[W/m 2 ].
Essa risulta variare anche in questo caso con l’inverso della di-
stanza e ovviamente in modo direttamente proporzionale all’aper-
tura dell’angolo sotto cui la sorgente lineare viene vista dal punto
d’ascolto. In conclusione si può affermare che, in questo caso, si ha
a disposizione una descrizione ragionevolmente accurata del com-
portamento di un
vertical line array, approssimato come una sor-
gente lineare finita, nel suo campo vicino. Infatti, per le dimensioni
delle grandezze in gioco, il limite b/ π oltre il quale l’array può essere
approssimato con una sorgente lineare (e quindi può essere visto
come una sorgente di onde cilindriche) risulta di gran lunga inferiore
al limite fra campo lontano e campo vicino visto precedentemente
(tale limite, come si ricorda, è rappresentato dalla distanza maggiore
fra le seguenti: r >>
λ
max
/2 π, r >> L , r >> πL 2 /2 λ
max
).
Nota: si possono trovare in letteraura (Smith, Heil e altri) for-
mule empiriche che legano il passaggio dal campo vicino a
quello lontano a variabili come la lunghezza dell’array o la
frequenza riprodotta, ma, non avendo validità di carattere
generale, è bene non utilizzarle!
Nel campo lontano varranno invece le considerazioni enunciate po-
che righe sopra, ovvero si deve applicare la legge del “quadrato inver-
so” per il calcolo del campo sonoro. In particolare, essendo nota, nel
caso delle sorgenti lineari, la potenza sonora di una singola sorgente
W
o
, la formula per il calcolo del livello di pressione sonora in condizioni
di campo libero su superficie riflettente diventa:
Lp = Lw
o
+ 10 log( βn /r) – 8 [dB],
dove βn è l’angolo sotto cui le sorgenti vengono viste dal punto
d’ascolto.
5. Studio del campo sonoro di una sorgente lineare
Per analizzare il campo sonoro generato da un line array partiamo
da un modello semplice e ideale: la
sorgente lineare finita (o line
source).
dl
dl sin( α)
x
Line source
Far field
L/2
fig. 2
La pressione sonora generata da una sorgente lineare è ricavabi-
le analiticamente come soluzione particolare dell’
equazione del-
le onde, funzione delle coordinate spaziali e del tempo. Inoltre si
aggiunga l’ipotesi che la sorgente emetta solo un segnale di tipo
sinusoidale. Dal punto di vista matematico questa semplificazione
ci permette di usare una notazione (detta
fasoriale) che semplifica i
conti e, dal punto di vista della completezza, siamo sicuri di non per-
dere in generalità. La teoria di Fourier ci dimostra che, sotto alcune
ipotesi (che nel caso dei segnali musicali sono ampiamente verifica-
te), qualsiasi segnale periodico può essere modellizzato come una
somma di singole sinusoidi.
Date queste premesse, possiamo quindi esprimere la pressione so-
nora generata da una sorgente lineare come:
dove L è la lunghezza della linea, k è il numero d’onda, A(l) e ϕ (l)
sono rispettivamente l’ampiezza e la fase del segnale in un punto
della linea (o meglio in un segmento infinitesimo dl) a distanza r(l) da
un generico punto di osservazione o, meglio, d’ascolto P.
Per arrivare a verificare analiticamente le proprietà dei line array
sono necessarie alcune ipotesi aggiuntive. Per es. è facile osservare
che, oltre una certa distanza di osservazione (o di ascolto), si avrà:
Questa condizione ulteriore è proprio quella di campo lontano (o
far field) vista precedentemente.
Con l’ipotesi di campo lontano possiamo riscrivere l’espressione
finale della pressione, nella forma che utilizzeremo per valutare la
direttività (vedi paragrafo 5.1) della sorgente:
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